求证f(x)=xcosx不是周期函数那位好人帮帮忙

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2020/02/25 17:25:25

求证f(x)=xcosx不是周期函数
那位好人帮帮忙

通俗地说 y1=X
y2=cosx 第一个不是周期,第二个是周期,所以乘积不是周期

设f(x)的最小正周期为t,
则f(x+t)=f(x);即(x+t)cos(x+t)=xcosx;
显然对于任意的x该等式恒成立,故取x=-π/2,0;
得到(-π/2+t)cos(-π/2+t)=0;tcost=0;
满足这两个方程的只有t=π/2;(t=0不是正数,舍去)
所以f(x)的周期只可能是π/2,
但显然f(π/3),f((5/6)*π...

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设f(x)的最小正周期为t,
则f(x+t)=f(x);即(x+t)cos(x+t)=xcosx;
显然对于任意的x该等式恒成立,故取x=-π/2,0;
得到(-π/2+t)cos(-π/2+t)=0;tcost=0;
满足这两个方程的只有t=π/2;(t=0不是正数,舍去)
所以f(x)的周期只可能是π/2,
但显然f(π/3),f((5/6)*π)是不相等的。矛盾
所以f(x)=xcosx不是周期函数
固然一个周期函数乘以一个非周期函数肯定是非周期函数,但简单这样说显然不满足题目要求。

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