作业帮如图,在边长为1的正方形ABCD的各边上,截取AE=BF=CG=DH=x,连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数不用相似 只用初二的知识能做吗用x表示四边形pqsr的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 17:44:29
如图,在边长为1的正方形ABCD的各边上,截取AE=BF=CG=DH=x,连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数
不用相似 只用初二的知识能做吗
用x表示四边形pqsr的面积
用x表示四边形的面积
设CH、DE的交点为S,AF、DE的交点为P,则
DH/DA=HS/AP=DS/DP
x/1=HS/AP=AP/DP
DP+EP=DP+HS=根号下1+X²
∴四边形PQRS的面积=1-4x³/2(x²+1）-4（x-x³）/2(x²+1）=(x²-2x+1)/(x²+1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠EAD=∠HDC=∠GCB=∠FBA=90°，
∵AE=BF=CG=DH，
∴△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC（SAS），
∴∠EAP=∠HDE=∠FBQ=∠HCD，
∴∠∠QPS=∠ADE+∠DAP=∠BAF+∠DAP=∠BAD=90°，
同理∠PSR=90°∠SRQ=90°，
...
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠EAD=∠HDC=∠GCB=∠FBA=90°，
∵AE=BF=CG=DH，
∴△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC（SAS），
∴∠EAP=∠HDE=∠FBQ=∠HCD，
∴∠∠QPS=∠ADE+∠DAP=∠BAF+∠DAP=∠BAD=90°，
同理∠PSR=90°∠SRQ=90°，
∴四边形PSRQ是矩形，
∵∠HSD=∠GRC=∠APE=∠BQF=90°，∠GCR=∠HDS=∠EAP=∠QBF，CG=HD=AE=BF，
∴△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，
∴CR=DS=AP=BQ，GR=HS=EP=QF，
∵△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC，
∴DE=AF=BG=CH，
∴SR=SP，
∴矩形SPQR是正方形，
又∵S△ADE=x/2，
设△DHS的面积是a，设四边形HSPA的面积是b，
CH∥AF，
∴△DSH∽△DPA，
∴
a
a+b
=
x2
12
，
∴
a
b
=
x2
1-x2
，
∴a=
x2
1-x2
b，
S△AED=
1
2
x=2a+b=
1+x2
/1-x2
b，
∴b=
x(1-x2)
2(1+x2)
，
a+b=
x
2(1+x2)
，
∴S四边形PQRS=1×1-4（a+b）=
(1-x)2
/1+x2
，
故答案为：
(1-x)2
/1+x2 ．
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用x的代数式然后呢？题目没完吧？
什么叫用x的代数
由题意可得∠EAP=∠HDE=∠FBQ=∠HCD，
∴∠APS=∠PSH，
∴四边形PQRS是正方形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴△BAF≌△CBG≌△DCH≌△ADE，
∴∠BAF=∠CBG=∠HCD=∠ADE，
∵AD=AB=BC=CD，AE=BF...
全部展开
由题意可得∠EAP=∠HDE=∠FBQ=∠HCD，
∴∠APS=∠PSH，
∴四边形PQRS是正方形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴△BAF≌△CBG≌△DCH≌△ADE，
∴∠BAF=∠CBG=∠HCD=∠ADE，
∵AD=AB=BC=CD，AE=BF=CG=DH，
∴AH=CF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AF∥CH，
∵AD∥BC，
∴∠DHC=∠DAF=∠AFB，
同理∠CGB=∠AED=∠CDE，
∵∠HDE+∠EDC=90°，∠DCH+∠DHC=90°，
∴∠CGB=∠DHC，
∠AFB=∠AED=∠BGC=∠DHC，
∴△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，
又∵S△ADE=x/2，
设△DHS的面积是a，设四边形HSPA的面积是b，
CH∥AF，
∴△DSH∽△DPA，
∴a a+b =x2 12 ，
∴a b =x2 1-x2 ，
∴a=x2 1-x2 b，
S△AED=1 2 x=2a+b=1+x2 1-x2 b，
∴b=x(1-x2) 2(1+x2) ，
a+b=x 2(1+x2) ，
∴S四边形PQRS=1×1-4（a+b）=(1-x)2 1+x2 ，
故答案为：(1-x)2 1+x2 .
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