设等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.

设等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=17,求通项公式an.

设{an}的公比为q,由S4=1,S8=17知q≠1,所以得
a1(q^4-1)/(q-1)=1, ①
a1(q^8-1)/(q-1)=17. ②
由①、②式,得q^4+1=17,∴q^4=16.
∴q=2或q=-2.
将q=2代入①式得a1=1/15 ,所以an=2^(n-1)/15 ;
将q=-2代入①式得a1=-1/5 ,
所以an=(-2)^n/10 .

过程
S(4)=a1+a2+a3+a4=a1*(1+q+q^2+q^3)
S(8)=S(4)+S(4)*(q^4)=S(4)*(1+q^4)
1+q^4=17/1=17, q^4=16, q=2, or -2
a1*(1+2+4+8)=a1*15=1---> a1=1/15, a(n)=(2^n)/30
a1*(1-2+4-8)=a1*(-5)=1---> a1=-1/5, a(n)=(-2)^n/10

S4=1=a1(1-q^4)/(1-q)
S8=1=a1(1-q^8)/(1-q)
所以，S8/S4=(1-q^8)/(1-q^4)=(1+q^4)(1-q^4)/(1-q^4)=1+q^4=17/1=17
所以q^4=16
q=±2
当q=2时，1=a1(1-2^4)/(1-2) a1=1/15
an=1/15*2^(n-1)
当q=-2时，1=a1(1-2^4)/(1+2) a1=-1/5
an=-1/5*(-2)^(n-1)
所以，an=1/15*2^(n-1)或an=-1/5*(-2)^(n-1)

S4=1=a1(1+q+q*q+q*q*q)
S8-S4=17-1=16=a5(1+q+q*q+q*q*q)
两式相除a5/a1=16=q*q*q*q
q=2;a1=1/15
an=2^(n-1)/15
或q=-2；a1=-1/5
an=-(-2)^(n-1)/5

qn代表q的n次
S4=a1*(1-qn)/(1-q)=1 -----(1)
S8=S4+a5*(1-qn)/(1-q)=17-----(2)
用（2）-（1）
a5*(1-qn)/(1-q)=16-----（3）
用（3）/(1)得到
a5/a1=q4=16
所以q=2，代入（1）
a1*(-15)/（-1）=1
a1=1/15
所以an等于15分之2的n次方

等比数列前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
所以S4=a1(1-q^4)(1-q)=1
S8=a1(1-q^4)(1-q)=17
S4/S8=1/17
q^8-17q^4+16=0
解得q^4=1和q^4=16
q=+/-1 和 q=+/-2
代入S4=a1(1-q^4)(1-q)=1
当q=+/-...

全部展开

等比数列前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
所以S4=a1(1-q^4)(1-q)=1
S8=a1(1-q^4)(1-q)=17
S4/S8=1/17
q^8-17q^4+16=0
解得q^4=1和q^4=16
q=+/-1 和 q=+/-2
代入S4=a1(1-q^4)(1-q)=1
当q=+/-1时，等式无意义所以将q=+/-2代入解得a1=17/15 和a1=-17/5
所以an=a1*q^(n-1)=17/15*2^(n-1)或者an=a1*q^(n-1)=-17/5*（-2）^(n-1)

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