证明：f(x)=x*cos(x)不是周期函数证明：假设y=xcosx是周期函数,因为周期函数有f(x+T)=f(x)xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT所以cosT=1 T=kπ/2-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0-xsinx*sinT-Tsinx*si

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/24 11:45:11

证明：f(x)=x*cos(x)不是周期函数
证明：假设y=xcosx是周期函数,
因为周期函数有f(x+T)=f(x)
xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT
所以cosT=1 T=kπ/2
-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=0
-xsinx*sinT-Tsinx*sinT=0
(x+T)sinx*sinT=0
只能是sinT=0 T=kπ和T=kπ/2矛盾
所以不是周期函数
这里的“所以cosT=1 T=kπ/2” 看不懂,是怎么的出来的,

可以用反证法证明.
假设函数f(x)= xcosx存在正周期T>0
则 (x+T)cos(x+T)= xcosx对一切x成立
取x=0于是TcosT= 0,所以T=π/2+kπ：
再取x=π/2于是(T+π/2)cos(T+π/2)=0所以T=nπ或-π/2
以上交集说明T=-π/2
然后随便找个值验证一下T=-π/2不成立.
所以无T
非周期函数

把xcosx当作一个整体，其它的是另一个整体，那么xcosx在左右两边的系数应该一样，都是1，所以cosT=1，后面应该是T=2kπ吧。

xcosx=（x+T)cos(x+T)=xcosx*cosT-xsinx*sinT+Tcosx*cosT-Tsinx*sinT=AcosX+Bsinx恒成立。
有A=1，B=0
也就是有cosT=1，TcosT=0，-xsinT-TsinT=0

所以无解。即得证明。
希望对你有所帮助！

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