设1995X立方=1996Y立方=1997Z立方,XYZ＞0,且（1995X平方+1996Y平方+1997Z平方）的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根,求1/X+1/Y+1/Z的值.

设1995X立方=1996Y立方=1997Z立方,XYZ＞0,
且（1995X平方+1996Y平方+1997Z平方）的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根,求1/X+1/Y+1/Z的值.

XYZ大于0,说明三者全大于0或者三者之一大于0,由前一条件可知三者之一大于0,三者之二小于0是不行的,只能是三者全大于0.令1995X立方＝1996Y立方＝1997Z立方＝K,则（1995X平方+1996Y平方+1997Z平方）的立方根＝K（1/X+1/Y+1/Z)的立方根＝K的立方根*（1/X+1/Y+1/Z)的立方根
1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根＝（K/X^3）的立方根+（K/Y^3）的立方根+（K/Z^3)的立方根＝K的立方根*（1/X+1/Y+1/Z),
则（1/X+1/Y+1/Z)的立方根=(1/X+1/Y+1/Z),则（1/X+1/Y+1/Z)=1或-1,-1舍去,即（1/X+1/Y+1/Z)=1

设1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995x^2=k^3/x,1996y^2=k^3/y,1997z^2=k^3/z
(1995x^2+1996y^2+1997z^2)的立方根
=(k^3/x+k^3/y+k^3/z)的立方根
1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995=k^3/x^3,1996=k^3...

全部展开

设1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995x^2=k^3/x,1996y^2=k^3/y,1997z^2=k^3/z
(1995x^2+1996y^2+1997z^2)的立方根
=(k^3/x+k^3/y+k^3/z)的立方根
1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995=k^3/x^3,1996=k^3/y^3,1997=k^3/z^3
1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根
=k/x+k/y+k/z
(1995x^2+1996y^2+1997z^2)的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根
(k^3/x+k^3/y+k^3/z)的立方根=k/x+k/y+k/z
(1/x+1/y+1/z)的立方根=1/x+1/y+1/z
1/x+1/y+1/z=(1/x+1/y+1/z)^3
(1/x+1/y+1/z)[(1/x+1/y+1/z)^2-1]=0
因为xyz>0
所以1/x+1/y+1/z=1

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解；设
1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995x^2=k^3/x,1996y^2=k^3/y,1997z^2=k^3/z
=3√(1995x^2+1996y^2+1997z^2)
=3√(k^3/x+k^3/y+k^3/z)
1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995=k^3/x^3,1996=...

全部展开

解；设
1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995x^2=k^3/x,1996y^2=k^3/y,1997z^2=k^3/z
=3√(1995x^2+1996y^2+1997z^2)
=3√(k^3/x+k^3/y+k^3/z)
1995x^3=1996y^3=1997z^3=k^3
1995=k^3/x^3,1996=k^3/y^3,1997=k^3/z^3
=3√1995+3√1996+3√1997
=k/x+k/y+k/z
3√(1995x^2+1996y^2+1997z^2)=3√1995+3√1996+3√1997
3√(k^3/x+k^3/y+k^3/z)=k/x+k/y+k/z
3√(1/x+1/y+1/z)=1/x+1/y+1/z
1/x+1/y+1/z=(1/x+1/y+1/z)^3
(1/x+1/y+1/z)[(1/x+1/y+1/z)^2-1]=0
xyz>0
则
1/x+1/y+1/z=1

收起

设1995X立方=1996Y立方=1997Z立方=k立方
x=k/1995的立方根，y=k/1996的立方根，z=k/1997的立方根
代入1995X平方+1996Y平方+1997Z平方）的立方根=1995的立方根+1996的立方根+1997
可以算出k=1995的立方根+1996的立方根+1997的立方根
1/x+1/y+1/z=1