a^3+b^3+c^3>=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)怎么证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/05 06:23:15
a^3+b^3+c^3>=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)怎么证明
方法一:
设a>=b>=c.然后用Chebyshev不等式.
方法二:
欲证原式,即需证
3(a^3+b^3+c^3)>=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
即3(a^3+b^3+c^3)>=a^3+b^3+c^3+(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2
即2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2 ..(*) .(这里也可以用排序原理证明)
现在先构造一个不等式
很显然
(a+b)(a-b)^2>=0恒成立
即
a^3-ab^2-ba^2+b^3>=0
即
a^3+b^3>=ab^2+ba^2 .(1)
同理
(a+c)(a-c)^2>=0
(c+b)(c-b)^2>=0
即
a^3+c^3>=ac^2+ca^2 .(2)
c^3+b^3>=cb^2+bc^2 .(3)
(1)+(2)+(3)得知(*)成立
即原不等式成立
a^3+b^3+c^3-3abc
=[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc
=[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc)
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
二个公式:
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2
已知:(a-b)(b-c)(c-a)/(a+b)(b+c)(c+a)=5/132,求a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)的值!(请尽快,我有急用,a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)=1/2[(a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(c+a)]+3/2 (a-b)/(a+b)+(b-c)/(b+c)+(c-a)/(c+a) 没有错吧...
3a-c=4a+2b-c=a+b+c a:b:c
1/a=2/b=3/c求a+b-c/a-b+c=?
(1) 化简 (x-c)/(x-a)(x-b)+(b-c)/(a-b)(x-b)+(b-c)/(b-a)(x-a)(2) 化简(2a-b-c)/(a-b)(a-c)+(2b-c-a)/(b-c)(b-a)+(2c-a-b)/(c-b)(c-a)(3) 证明,若a+b+c=0,则1/(b方+c方-a方)+1/(c方+a方-b方)+1/(a方+b方-c方)=0
(a-b+c/a+b-c)-(a-2b+3c/b-c+a)+(b-2c/c-a-b)
a=3b,c=2a*3,a+b+c*a+b-c=?
a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+3abc=0,a^2+b^2+c^2=1求a+b+c
已知a>0,b>0,c>0,求证:(1)(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc;(2)(a/b)+(b/c)(c/a)>=3
a,b,c∈R+,证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9证1.(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=92.(a+b+c)(1/a+b +1/b+c +1/c+a)>=9/23.a/b+c +b/c+a +c/a+b>=3/2
a=2,b=-3,c=-1,计算:|a-b|+|b-c-a|.
(a-b)(b-c)(c-a)/(b-a)(a-c)2(c-b)3
2a(a+b-c)-3b(a+b-c)+5c(c-a-b)
设a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成G.P,公比为a/c,试证r^3+r^2+r=1
已知有理数a、b、c满足|b|=-b,|a|=-2a,|a+c|·c=1,化简|3a-b|-|-b+c+2|.
2a-(3b+c-b)=(2a-c)-()
已知A=3A-4B+C,B=5A+4B+2C,求[1]A-B;[2]A+B;[3]2A-3B.
a+b+c=9,a+b-c=1,a-b+c=3,a,b,c多少 -
设a,b,c,属于正实数,求证a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=2/3