作业帮已知y1=x^2,y2=x+x^2,y3=e^x+x^2都是方程（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2的解,求此方程的通解能不能给我讲讲思路
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 07:29:05
已知y1=x^2,y2=x+x^2,y3=e^x+x^2都是方程（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2的解,求此方程的通解
能不能给我讲讲思路
（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2
是个非齐次方程
求解一般先求其对应其次方程的通解
其次方程的通解再加上一个非齐次方程的特解就是这个方程的通解
y1=x^2,y2=x+x^2,y3=e^x+x^2都是方程（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2的解
所以 y2-y1=x
y3-y1=e^x
是其对应其次方程（x-1）y''-xy'+y=0的两个线性无关的解
所以（x-1）y''-xy'+y=0的通解就是C1x+C2e^x
（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2的通解是
C1x+C2e^x+x^2
此题就是靠其次方程和非齐次方程的解得关系的
题目中告诉你的y1;y2;y3 分别是这个方程的特解！也就是说可以把这些特解带入到方程中，得到通解！
（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2 是二阶线性微分方程将其化为标准形式为：
y''-P(x)y'+Q(x)y=f(x)
y“-（x/x-1)y'+1/(x-1)*y=(-x^2+2x-2)/(x-1)
非齐次方程的任意两个特解之差均是齐次方程
y“-（x/x-1)y'+1/(x-1)*y=0
的解，这样，...
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（x-1）y''-xy'+y=-x^2+2x-2 是二阶线性微分方程将其化为标准形式为：
y''-P(x)y'+Q(x)y=f(x)
y“-（x/x-1)y'+1/(x-1)*y=(-x^2+2x-2)/(x-1)
非齐次方程的任意两个特解之差均是齐次方程
y“-（x/x-1)y'+1/(x-1)*y=0
的解，这样，函数
y2=y2-y1=x和y1=y3-y1=e^x（这里的y1与y2注意区分，=后面的是题给出的，=前面的y1.y2是下面行列式中的）
都是对应的齐次方程的解，所以齐次方程的通解为：
y*=C1e^x+C2x
因为
W=|y1 y2| =|e^x x|=e^x(1-x)(前面是行列式，希望能看懂）
|y1' y2'| |e^x 1|
所以
y*=y1∫[-y2f(x)]/Wdx+y2∫[(y1f(x)]/Wdx（自己求出这个积分，得到特解）
从而原方程的通解为：
y=C1e^x+C2x+y*(y*为上面积分的结果）
可能有错误，可借鉴一下，希望能看懂，祝你学习进步！
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