如图,在△ABC中,∠BAC=120°,点P为△ABC内的一点.求证:PA+PB+PC>AB+AC.(提示:以B为中心,△ABP旋转60°到△BQD的位置)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 07:28:36

如图,在△ABC中,∠BAC=120°,点P为△ABC内的一点.
求证:PA+PB+PC>AB+AC.(提示:以B为中心,△ABP旋转60°到△BQD的位置)

因为三角形ABP旋转60度以后得到三角形QDB
所以角ABQ=60度,角ABP=角QDB,BP=BD,PA=QD
因为角BAC=120度
所以角QAB=60度
又因为角ABQ=60度
所以三角形ABQ是等边三角形
所以AB=QA
所以AB+AC=QA+AC=QC
由于角DBP=角DBA+角ABP=角DBA+角QBD=角QBA=60度,且BD=BP
所以三角形BDP是等边三角形.
所以BD=PD=BP
所以BP+AP+PC=DP+PC+QD
因为QD+DC>QC,且DP+PC>DC
所以QD+PC+DP>QC
即BP+AP+PC>AB+AC