请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?请运用高一上学期学的知识,譬如请不要使用均值不等式或求导公式.

请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?
请运用高一上学期学的知识,
譬如请不要使用均值不等式或求导公式.

.就这样

y = tan x / ( 1 + tan² x )
=tanx/sec^2x
=tanx*cos^2x
=sinx*cosx
=1/2sin(2x)
根据正弦函数的性质得
-1/2≤y≤1/2

y = tanx/(1+tan²x) =tanx/sec²x = tanx*cos²x = sinx*cosx = sin2x/2
如果x的定义域在R上，或者定义区间至少覆盖π个长度，那么y的值域为(-1/2,1/2)
x的其他情况另需讨论。

不妨设t=tanx，tanx∈(-∞，+∞)
∴y = tan x / ( 1 + tan² x )
=t/(1+t²)
对y求导，得
y'=(1+t²-2t²)/(1+t²)²
令y'=0,可得
1-t²=0
=>t=±1,即t=±1时该函数取得极大（极小)值...

全部展开

不妨设t=tanx，tanx∈(-∞，+∞)
∴y = tan x / ( 1 + tan² x )
=t/(1+t²)
对y求导，得
y'=(1+t²-2t²)/(1+t²)²
令y'=0,可得
1-t²=0
=>t=±1,即t=±1时该函数取得极大（极小)值。
t=1时，y=1/2; t=-1时，y=-1/2
又∵tanx∈(-∞，+∞)，故该函数值域为[-1/2,1/2]。

收起

原题 这样看题目有点乱