作业帮用数学归纳法证明1^2/1·3+2^2/3·5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=n(n+11^2/1·3+2^2/3·5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=n(n+1)/2(2n+1)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:48:48
用数学归纳法证明1^2/1·3+2^2/3·5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=n(n+1
1^2/1·3+2^2/3·5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=n(n+1)/2(2n+1)
当n=1,1^2/1*3 = 1*2/2*3 成立
假设,n-1时成立,即1^2/1·3+2^2/3·5+...+(n-1)^2/(2n-3)(2n-1)=(n-1)n/2(2n-1)
则1^2/1·3+2^2/3·5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)
=1^2/1·3+2^2/3·5+...+(n-1)^2/(2n-3)(2n-1)+n^2/(2n-1)(2n+1)
=(n-1)n/2(2n-1)+n^2/(2n-1)(2n+1)=n/(2n-1)*[(n-1)/2+n/(2n+1)]=n/(2n-1)*[(n+1)(2n-1)/2(2n+1)]
=n(n+1)/2(2n+1)
很高兴为你解答
（1）当 n = 1 时 左边 = 1/3, 右边 = 2/6 = 1/3, 右边 = 左边
（2）设 n = k （>1)时， 左边 = k(k+1) / [2(2k+1)]成立
当 n = k+1 时， 左边 = k(k+1) / [2(2k+1)] + (k+1)^2 / (2k+1)(2k+3)
= (k+1)*(2k+1)*(k+2) ...
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很高兴为你解答
（1）当 n = 1 时 左边 = 1/3, 右边 = 2/6 = 1/3, 右边 = 左边
（2）设 n = k （>1)时， 左边 = k(k+1) / [2(2k+1)]成立
当 n = k+1 时， 左边 = k(k+1) / [2(2k+1)] + (k+1)^2 / (2k+1)(2k+3)
= (k+1)*(2k+1)*(k+2) / 2(2k+1)(2k+3) = (k+1)(k+3) / 2(2k+3)
综上所述，1^2/1·3+2^2/3·5+...+n^2/(2n-1)(2n+1)=n(n+1)/2(2n+1)在n为正整数时均成立
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