作业帮求多项式(x^2+2x+2)^1999+(x^2-3x-3)1999的展开式中①各项系数和②偶次项系数和与奇次项系数和之差③偶次项次数和及奇次项次数和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:10:45
求多项式(x^2+2x+2)^1999+(x^2-3x-3)1999的展开式中①各项系数和②偶次项系数和与奇次项系数和之差
③偶次项次数和及奇次项次数和
设(x^2+2x+2)^1999+(x^2-3x-3)^1999=∑C_i*x^i （i=0,1,2,……,3998）,
①令x=1得5^1999+(-5)^1999=∑C_i*1,所以∑C_=0.
②令x=-1得,1^1999+1^1999=∑C_i*(-1)^i=[C_0+∑C_(2k)]*1+∑C_(2k-1)*(-1) （k= 1,2,……,3998）
[C_0+∑C_(2k)]-∑C_(2k-1)=2.
③偶次项次数和及奇次项次数和,最高次数2*1999,最低次数0,从0到3998求和即可（可能某次项的系数为0,但是题目并没有说是系数不为0的那些项的次数之和）
令f（x）=(x^2+2x+2)^1999+(x^2-3x-3)^1999
则f（1）=5^1999+(-5)^1999=0
f(-1)=1+1=2
∴1°各项系数和=f（1）=0
2°偶次项系数和与奇次项系数和之差={f（1）+f（-1）}/2 — {f（1） — f（-1）}/2=1 — （-1）=2
3°最高次项为2x^3998，所以x...
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令f（x）=(x^2+2x+2)^1999+(x^2-3x-3)^1999
则f（1）=5^1999+(-5)^1999=0
f(-1)=1+1=2
∴1°各项系数和=f（1）=0
2°偶次项系数和与奇次项系数和之差={f（1）+f（-1）}/2 — {f（1） — f（-1）}/2=1 — （-1）=2
3°最高次项为2x^3998，所以x次数为0,1,2,3,4.。。。3998
∴偶次项次数和=0+2+4+6+...+3998=2000^2 - 2000=3998000
（数列为0为首项，2为公差的等差数列，a1=0，a2000=3998，则Sn=n^2 - n）
奇次项次数和=1+3+5+7+...+3997=1999^2=3996001
（数列为1为首项，2为公差的等差数列，a1=1，a1999=3998，则Sn=n^2 ）
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