设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明：在(0,a)中至少存在一点ξ,使f(ξ)+ξf'(x)=0F(x)=xf(x),则由题意知F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导试问为什么F(x)在(0,a)内可导?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 15:15:35

设函数f(x)在上[0,a]连续,在(0,a)内可导,且f(a)=0,证明：在(0,a)中至少存在一点ξ,使f(ξ)+ξf'(x)=0
F(x)=xf(x),则由题意知F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导
试问为什么F(x)在(0,a)内可导?

可以用罗尔中值定理,构造函数F（x）=xf(x),则F（0）=0,F（a）=0,由f（x）的性质知,
F（x）在[0,a]连续,（0,a）可导,故满足罗尔中值定理的条件,在(0,a)中至少存在一点ξ使
F（ξ）=f(ξ)+ξf'(ξ)=0,则原题得证
对于（2）,根据函数的求导法则：两个可导函数（都在X0可导）的积在X0也是可导的,对于这道题,我可以给出证明：

（1）若不嫌麻烦，可以根据最基本的可导函数定义来证明。
（2）根据函数的求导法则：两个可导函数（都在X0可导）的积在X0也是可导的，再由X0的任意性（X0在两个共同定义域内）可知它们的积在整个公共定义域内是可导的。

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在对称区间【-a,a】上连续,证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2) 设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,且f(c)=0,a 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且f'(x) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶导数,且有f(a)=f(b)=0,f(c)>0(a 设函数f(x)在[a,+∞)上连续并在(a,+∞)内可导且f'(x)>k(其中k>0) 若f(a) 设函数f(x)在[a,+∞)上连续并在(a,+∞)内可导且f'(x)>k(其中k>0) 若f(a) 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) 设函数f(x)在区间【0,2a】上连续且f(0)=f(2a),证明在【0,a】上至少有一点§设函数f(x)在区间【0,2a】上连续且f(0)=f(2a),证明在【0,a】上至少有一点§ 使f(§)=f(§+a) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,f(a)=f(b)=0,0 设函数f 在[a,b]上连续,M=max|f(x)|(a 一元函数积分设函数f(x)在[a,b]上具有连续的导函数且 f(a)=f(b)=0? 设函数f(x) 在区间（ -a ,a)上连续,证明 f 上a 下 0 f(x)dx= f 上a 下 0 (f (x) +f(-x)dx 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且0