作业帮已知sinα+sinβ=2/3,求cosα+cosβ的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:53:05
已知sinα+sinβ=2/3,求cosα+cosβ的取值范围
sinα+sinβ=2/3
两边平方
(sinα)^2+(sinβ)^2+2sinαsinβ=4/9
令cosα+cosβ=k
两边平方
(cosα)^2+(cosβ)^2+2cosαcosβ=k^2
相加
因为(sinx)^2+(cosx)^2=1
所以2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=k^2+4/9
2cos(α-β)=k^2-14/9
-1<=cos(α-β)<=2
所以-2<=k^2-14/9<=2
-4/9<=k^2<=32/9
即0<=k^2<=32/9
-4√2/3<=k<=-4√2/3
所以-4√2/3<=cosα+cosβ<=-4√2/3
sinα+sinβ＝ 2/3
则(sinα+sinβ)^2=4/9……①
设cosα+cosβ=t
则(cosα+cosβ)^2=t^2……②
①+②得
(sinα+sinβ)^2+(cosα+cosβ)^2=4/9+t^2
展开得到
sinα^2+sinβ^2+2sinα*sinβ+cosα^2+cosβ^2+2cosα*co...
全部展开
sinα+sinβ＝ 2/3
则(sinα+sinβ)^2=4/9……①
设cosα+cosβ=t
则(cosα+cosβ)^2=t^2……②
①+②得
(sinα+sinβ)^2+(cosα+cosβ)^2=4/9+t^2
展开得到
sinα^2+sinβ^2+2sinα*sinβ+cosα^2+cosβ^2+2cosα*cosβ=4/9+t^2
整理得
2+2cos(α-β)=4/9+t^2
t^2=14/9+2cos(α-β)
因为-1≤cos(α-β)≤1
所以0≤t^2≤32/9
所以-3分之4根号2≤t≤3分之4根号2
所以-3分之4根号2≤cosα+cosβ≤3分之4根号2
参考资料：yahoo
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