椭圆x2/4+y2/2=1,过点P(1,1)作弦AB,求AB中点Q的轨迹方程

椭圆x2/4+y2/2=1,过点P(1,1)作弦AB,求AB中点Q的轨迹方程

设Q(x,y)
A(x1,y1),B(x2,y2)
则 2x=x1+x2,2y=y1+y2
A,B在椭圆x2/4+y2/2=1,即 x²+2y²=4上
所以 x1²+2y1²=4 （1）
x2²+2y2²=4 （2）
(1)-(2) 利用平方差公式
(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/2(y1+y2)= -x/2y
(y1-y2)/(x1-x2)表示直线PQ的斜率=(y-1)/(x-1)
所以 (y-1)/(x-1)=-x/2y
所以 (y-1)*2y+x(x-1)=0
即 x²+2y²-x-2y=0

设：Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因A、B在椭圆上，则：
(x1)²/4＋(y1)²/2=1
(x2)²/4＋(y2)²/2=1
两式相减，得：
(1/4)[(x1＋x2)(x1－x2)]＋(1/2)[(y1＋y2)(y1－y2)]=0
即：[(y1－y2)/(x1－x2)]×[(y1＋y2)/(x...

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设：Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因A、B在椭圆上，则：
(x1)²/4＋(y1)²/2=1
(x2)²/4＋(y2)²/2=1
两式相减，得：
(1/4)[(x1＋x2)(x1－x2)]＋(1/2)[(y1＋y2)(y1－y2)]=0
即：[(y1－y2)/(x1－x2)]×[(y1＋y2)/(x1＋x2)]=－1/2
又：(y1－y2)/(x1－x2)为AB斜率，也是QP斜率k=(y－1)/(x－1)
及：【(x1＋x2)/2，(y1＋y2)/2】为AB中点，即为Q点坐标，代入，得：
[(y－1)/(x－1)]×[y/x]=－1/2
即：2y(y－1)＋x(x－1)=0即为点Q的轨迹方程【再化简下即得】

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