用极限定义证明lim(n!/n^n)=0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 19:10:30

用极限定义证明lim(n!/n^n)=0

利用极限的定义!
任意ε>0,要使得(n!/n^n)1/ε,从而有
(n!/n^n)

见图

证明:对任意ε>0,可找N=1/ε>0,使得当n>N时 有
|n!/n^n-0|=n!/n^n=(n/n)[(n-1)/n]…(1/n)《1/n<ε
故由定义知 lim(n!/n^n)=0

任意ε>0,要使得(n!/n^n)<ε,则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
=1/n<ε
则只要n>1/ε,
取N=[1/ε],当n>N,有n>1/ε,从而有
(n!/n^n)<ε恒成立
则有lim(n!/n^n)=0...

全部展开

任意ε>0,要使得(n!/n^n)<ε,则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
=1/n<ε
则只要n>1/ε,
取N=[1/ε],当n>N,有n>1/ε,从而有
(n!/n^n)<ε恒成立
则有lim(n!/n^n)=0
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