作业帮古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如：他们研究过图1中的1,3,6,10…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/24 21:56:09
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如：他们研究过图1中的1,3,6,10…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中,既是三角数又是正方形数的
解出所有解关于：m(m+1)/2=n^2
m,n 均为正整数.
注意到m,m+1为互质数.且m,m+1为一奇数,一偶数.
1.假设m 为偶数则 m/2 和m+1仍为互质数（显然没有公因子）
若(m/2)*(m+1)为平方数,则
（1）m/2=m+1,无正整数解.
（2）m/2和m+1各自都是平方数.
设m+1=(2k+1)^2 (奇数平方为奇数,偶数平方为偶数）k为正整数.
则m/2=(4k^2+4k+1-1)/2=2k^2+2k=2k(k+1)
注意到k,k+1互质,故2k=k+1得到k=1 所以m1=8,n^2=36
第一个既是三角数又是正方形数的数为36.
2.假设m+1为偶数
同理,m,(m+1)/2仍然互质
（1）m=(m+1)/2 得到m=1,此时n^2=1
第二个既是三角数又是正方形数的数为1.
（2）m和(m+1)/2 各自都是平方数.
m为奇数.令m=(2q+1)^2 (q为正整数)
则 ((2q+1)^2+1)/2=2q^2+2q+1为平方数.
即q^2+q^2+2q+1=q^2+(q+1)^2为平方数.
注意到,q^2+(q+1)^2一定为奇数,故令q^2+(q+1)^2=(2p+1)^2
变形后得到q(q+1)/2=p(p+1)
由于,q和q+1是互质的,无论q和q+1哪一个是偶数,除以2之后,结果的两个数仍然是互质的.现在要求结果这两个数还是相邻的数.只有q=3,p=2.(其实此处容易发现q一定是奇数,后面再证明,也可以严格证明,此处从简了...）代入后得到m=49,此时n^2=49*25=1225
第三个既是三角数又是正方形数的数为1225.
故既是三角数又是正方形数的数为1,36和1225.
不知道对否.