二次函数y=f(x)满足条件：f(x+1)-f(x)=2x,及f(0)=1.求：①y=f(x)的解析式 ②y=f(x)当x∈[-1,1]时的最大与最小值及这时x的值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:44:52

二次函数y=f(x)满足条件：f(x+1)-f(x)=2x,及f(0)=1.求：①y=f(x)的解析式
②y=f(x)当x∈[-1,1]时的最大与最小值及这时x的值

1.
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c
f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)-f(x)=[a(x+1)^2+b(x+1)+c]-(ax^2+bx+c)=2ax+a+b
而:f(x+1)-f(x)=2x
即：2ax+a+b=2x
得：2a=2、a+b=0
显然：a=1、b=-1
又：f(0)=1,得c=1
y=f(x)的解析式为：
f(x)=x^2-x+1
2.
因：y=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
得：x=1/2时y=3/4为最小值,且直线x=3/4为y的对称轴,
显然,x=-1时,y=3为最大值.

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=0+0+c=1
f(x)=ax^2+bx+1
f(x+1)-f(x)=2x
a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1=2x
2ax+a+b=2x
(2a-2)x+a+b=0
所以2a-2=0,a+b=0
a=1,b=-a=-1
f(x)=x^2-x+1
y=f(x)...

全部展开

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=0+0+c=1
f(x)=ax^2+bx+1
f(x+1)-f(x)=2x
a(x+1)^2+b(x+1)+1-ax^2-bx-1=2x
2ax+a+b=2x
(2a-2)x+a+b=0
所以2a-2=0,a+b=0
a=1,b=-a=-1
f(x)=x^2-x+1
y=f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
x∈[-1，1]
对称轴x=1/2，-1比1离对称轴更远
所以x=-1,y最大值=3
x=1/2，y最小值=3/4

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