设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明:(1)若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/18 12:15:24
设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明:(1)若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
知识点:齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是 r(A)=n
(1) 记B=(b1,b2,……,bn) ,由AB=0 ,知b1,b2,……,bn是Ax=0的解
因为 r(A)=n ,所以 Ax=0 只有零解
所以 b1=b2=...=bn=0
故 B = 0.
(2) 由AB=A,则 A(B-E) = 0
由(1)知 B-E = 0
所以 B=E.
记B=(b1,b2,……,bs) , 由AB=0 , 知b1,b2,……,bs是Ax=0的解
但并不能说b1,b2,……,bs构成了Ax=0的解空间S
解空间S: 1)S中的向量组线性无关
2)Ax=0的解都能由S中的向量线性表示
显然b1,b2,……,bs不一定线性无关,所以B不一定是Ax=0的解空间S
但当r(B)=r时,能说明b1,b...
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记B=(b1,b2,……,bs) , 由AB=0 , 知b1,b2,……,bs是Ax=0的解
但并不能说b1,b2,……,bs构成了Ax=0的解空间S
解空间S: 1)S中的向量组线性无关
2)Ax=0的解都能由S中的向量线性表示
显然b1,b2,……,bs不一定线性无关,所以B不一定是Ax=0的解空间S
但当r(B)=r时,能说明b1,b2,……,bs中有r个向量线性无关
即Ax=0的解空间S中至少有r个向量,即dimS≥r
由解空间维度的关系: dimS=n-r(A) ≥r
即n≥r(A)+r= r(A)+r(B)
收起
设A为m*n矩阵,B为k*n矩阵,且r(A)+r(B)
设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R(B)=n,证明B'AB也是正定矩阵
设A为m*n阶矩阵,B为n*m阶矩阵,且AB=E则R(A)=?,R(B)=?
设A,B均为n阶矩阵,r(A)
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA求证r(A+B)
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证r(A+B)
设A为m×n阶矩阵,B是n×m矩阵,则r(AB)是A 大于m B 小于m C 等于m D等于n
设a,b分别是m*n,n*s矩阵且b为行满值矩阵,证明:r(ab)=r(a)的详细解题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n
设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明:存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0
设A为M乘N的矩阵,且A的秩R(A)=M
设A为m*n矩阵,且r(A)=r
设A为m*n矩阵,且R(A)=r
设A为m*n矩阵,且r(A)=r
设A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,其中n
设A为m*n矩阵,B为n*m矩阵,其中n
设A为m*n矩阵,并且r(A)=n,又B为n阶矩阵,求证:如果AB=A则B=E
设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为 r1,矩阵B=AC的秩为r,则A ,r>r1 B,r