用单调性定义证明函数f(x)=(x-2)/(x+1)在(-1,+∞)上是增函数

用单调性定义证明函数f(x)=(x-2)/(x+1)在(-1,+∞)上是增函数

你好,billzhao986 ：

任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1>x2
∴f(x1)-f(x2)
=(x1-2)/(x1+1)-(x2-2)/(x2+1)
=[(x1-2)(x2+1)-(x2-2)(x1+1)]/(x1+1)(x2+1)
=(x1x2+x1-2x2-2-x1x2-x2+2x1+2)/(x1+1)(x2+1)
=[3(x1-x2)]/(x1+1)(x2+1)
∵x1>x2,x1,x2∈(-1,+∞),
∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0
∴[3(x1-x2)]/(x1+1)(x2+1)>0
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
∴函数f(x)=(x-2)/(x+1)在(-1,+∞)上是增函数

设-1＜X1＜X2
则f(x1)-f(x2)=（X1-2)/(X1+1）-（X2-2)/(X2+1)
通分，化简=3（X1-X2)/(X1+1)(X2+1)
因为-1＜X1＜X2
所以X1-X2小于0，(X1+1)(X2+1)大于0
所以f(x1)-f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)
即证