已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√(4a+1)+√(ab+1)+√(4c+1)<k恒成立?如果存在,求出k的范围我要是知道一楼的那个不等式还做什么,能不能来个人证一下?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/04 06:16:54
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√(4a+1)+√(ab+1)+√(4c+1)<k恒成立?
如果存在,求出k的范围
我要是知道一楼的那个不等式还做什么,能不能来个人证一下?
柯西不等式的一般证法有以下几种:
■①Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用n维向量来证.
标注:这里的m,n是指代的向量m,向量n
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=|m||n|cos=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)*(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)*cos
因为cos小于等于1,所以:a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式.
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.
用柯西不等式
[√(4a+1)+√(ab+1)+√(4c+1)]^2≤(1+1+1)(4a+4b+4c+3)=21
故原式≤√21
即k取 √21
已知a,b,c∈R,且a
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:1>a2+b2+c2 ≥ 1/3 ,
已知a、b、c∈R,且a+b+c=2,a+b+c=2,求证:a、b、c∈[0,4/3]
已知a,b,c∈R+,且a,b,c不全相等,求证:(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9
已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1,求证:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3.
已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3
已知a,b,c属于R,a,b,c 互不相等且abc=1,求证:根a+根b+根c《1/a+1/b+1/c
已知a、b、c∈R*,且a+b+c=1.求证:(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证:1/a+1/b+1/c≥9急```谢谢
已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c≥9
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
利用基本不等式解题已知a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证1/a+1/b+1/c≥9
已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,则√13a+1+√13b+1+√13c+1的最大值为
2.已知a,b,c∈R,且a+b+c=0,abc=1,求a,b,c中必有一個大于3/2
已知:a,b,c∈R,且a+b +c=1,求证a²+b²+c²≥1/3,要过程!
已知a、b、c∈R,且a+b+c=1求证:.a∧2+b∧2+c∧2≥1/3
已知,a.b.c∈R.且a+b+c=1.求证:a的平方+b的平方+c的平方≥1/3.
已知a,b,c R且a+b+c=1,求证a^2+b^2+c^2大于等于3/1题目是abc属于实数R