已知数列{an}中,an=2^n-16n,求{an}中的最小项

已知数列{an}中,an=2^n-16n,求{an}中的最小项

解设第an项最小
则a（n+1）≥an
an≤a（n-1)
即2^（n+1）-16（n+1）≥2^n-16n.(1)
2^n-16n≤2^（n-1）-16（n-1）.(2)
解（1）得2^n≥16,即n≥4
解（2）得2^（n-1）≤16,即n≤5
即4≤n≤5
即{an}中的最小项为a4,a5
a4=2^4-16×4=-48
a5=2^5-16×5=-48

an=2^n-16n=2^n-2^4n=2^4[2^(n-4)-n]
n>=4,求 f(n)=2^(n-4)-n 的最小正值
2^(n-4)函数比n函数增长快很多
f(6)=2^2-6=-2<0
f(7)=2^3-7=8-7=1>0
所以n=6或7取得最小正值
a6=2^6-16*6=-32
a7=2^7-16*7=128-112=16

全部展开

an=2^n-16n=2^n-2^4n=2^4[2^(n-4)-n]
n>=4,求 f(n)=2^(n-4)-n 的最小正值
2^(n-4)函数比n函数增长快很多
f(6)=2^2-6=-2<0
f(7)=2^3-7=8-7=1>0
所以n=6或7取得最小正值
a6=2^6-16*6=-32
a7=2^7-16*7=128-112=16
所以最小值一定在n<=6中
a1=2-16=-14
a2=4-32=-28
a3=8-48=-45
a4=16-64=-32
a5=32-80=-48
所以最小项为 a5=-48

收起

按函数求，但注意n是正整数