作业帮三角形ABC是圆心O 的内接圆,AB是圆心O的直径,点D在圆上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE垂直CE,连接CD.证明：DC=BC.若AB=5,AC=4,求tan角DCE的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 19:51:25
三角形ABC是圆心O 的内接圆,AB是圆心O的直径,点D在圆上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE垂直CE,连接CD.证明：DC=BC.若AB=5,AC=4,求tan角DCE的值.
连接OC OA=OC ∠OAC=∠OCA
CE是切线 OC⊥CE
CE⊥AE
OC//AE
∠EAC=∠OCA
∠OAC=∠EAC
弧BC=弧CD BC=CD
三角形ABC∽ACE
AB/AC=BC/CE
CE=12/5 BC=CD=3
DE=9/5
tan∠dce=DE/EC=3/4
连OC。∵CE是圆O的切线,∴CE⊥OC,又AE⊥CE,∴AE∥OC.∴∠EAC＝∠OCA;∵OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC,∴∠EAC＝∠OAC;∴DC=BC. ∵CE是切线,∴∠DCE=∠EAC, 在直角三角形EDC与直角三角形CBA中,∠BAC(=∠OAC)=∠DCE,∴三角形EDC∽三角形CBA,∴∠DCE＝∠BAC;∴tan∠DCE＝tan∠BAC=BC/...
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连OC。∵CE是圆O的切线,∴CE⊥OC,又AE⊥CE,∴AE∥OC.∴∠EAC＝∠OCA;∵OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC,∴∠EAC＝∠OAC;∴DC=BC. ∵CE是切线,∴∠DCE=∠EAC, 在直角三角形EDC与直角三角形CBA中,∠BAC(=∠OAC)=∠DCE,∴三角形EDC∽三角形CBA,∴∠DCE＝∠BAC;∴tan∠DCE＝tan∠BAC=BC/AC=(√5^2-4^2)/4=3/4
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①∵∠ECA＝∠AbC（同弧CDA上的圆周角与弦切角相等），
∠EAC＝∠BAC（同角的余角相等），
∴DC＝BC（圆周角相等则所对弧、弦相等）。
②tg∠DCE＝tg∠EAC (同弧CD上的圆周角与弦切角相等）
＝tg∠BAC(已证）
＝BC／AC＝3／4（勾股定理）。...
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①∵∠ECA＝∠AbC（同弧CDA上的圆周角与弦切角相等），
∠EAC＝∠BAC（同角的余角相等），
∴DC＝BC（圆周角相等则所对弧、弦相等）。
②tg∠DCE＝tg∠EAC (同弧CD上的圆周角与弦切角相等）
＝tg∠BAC(已证）
＝BC／AC＝3／4（勾股定理）。
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