如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证：OP*OQ为常数

如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证：OP*OQ为常数

2a=4,a=2
e=c/a=1/2,c=1,
b=V(a^2-c^2)=V3
方程为x^2/4+y^2/3=1

由2a=4及e=c/a=1/2易得，a=2，c=1，进而b²=3，所以
椭圆方程为x²/4+y²/3=1
设直线AB的斜率为k，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，-y1)，
因为直线AB过点(0，-2)，由斜截式可写出直线AB：y=kx-2，令y=0可求得
P点的横坐标为Xp=2/k。
将AB的直线方程与椭圆方...

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由2a=4及e=c/a=1/2易得，a=2，c=1，进而b²=3，所以
椭圆方程为x²/4+y²/3=1
设直线AB的斜率为k，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，-y1)，
因为直线AB过点(0，-2)，由斜截式可写出直线AB：y=kx-2，令y=0可求得
P点的横坐标为Xp=2/k。
将AB的直线方程与椭圆方程联立消y得
(4k²+3)x²-16kx+4=0，
由韦达定理有
x1+x2=16k/(4k²+3)，x1x2=4/(4k²+3)
由两点式写出BC的直线方程为(y+y1)/(x-x1)=(y2+y1)/(x2-x1)，令y=0可求得
Q点的横坐标为Xq=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)。
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，均在直线AB：y=kx-2上，故
y1=kx1-2，y2=kx2-2
代入Q点的横坐标表达式得
Xq=[x1(kx2-2)+x2(kx1-2)]/[(kx2-2)+(kx1-2)]=[2kx1x2-2(x1+x2)]/[k(x1+x2)-4]。
将韦达定理代入继续化简Q点横坐标得
Xq=[2k*4/(4k²+3)-2*16k/(4k²+3)]/[k*16k/(4k²+3)-4]=2k。
所以OP*OQ=Xp*Xq=(2/k)*2k=4。
从而证得OP*OQ为常数。

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