求这个1+1/2^2+1/3^2+……1/n^n 的值 n为无限大虽然知道答案π^2/6 去问老师 老师也不讲 虽然我才高一 但很想知道解法
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 20:09:03
求这个1+1/2^2+1/3^2+……1/n^n 的值 n为无限大
虽然知道答案π^2/6 去问老师 老师也不讲 虽然我才高一 但很想知道解法
大家知道:如果偶次方程a0-a1x²+a2x⁴-a3x∧6+.(-1)∧nanx∧2n=0---❶
有一根c,则-c也是它的根,现设❶有根c1、-c1、c2、-c2、.cn、-cn,
显然它们也是a0(1-x²/c1²)(1-x²/c2²).(1-x²/cn²)=0---❷ 的根,
而且他们的常数项也相等,那么很显然x的同次幂项的系数也是相等的,
特别地,x²项的系数应当相等,即有等式:
a1=a0(1/c1²+1/c2²+.+1/cn²)----❸
打字好累!($ _ $),现类比考察方程:
sinx/x=0------❹ 由sinx的级数表达式:
sinx=x-x³/3!+x∧5/5!-.+(-1)∧n×x∧(2n+1)/(2n+1)!-------❺
则可以把❹写成:1-x²/3!+x⁴/5!-x∧6/7!+.+(-1)∧n×x∧(2n)/(2n+1)!-------❻
因此方程❹和❻有相同的根,即
π、-π、2π、-2π、.nπ、-nπ.
而这些值也是方程;
(1-x²/π²)(1-x²/2²π²).(1-x²/n²π²)=0------❼的根,
比较❻和❼,类比❸式可以得到:
1/3!=1/π²+1/2²π²+.+1/n²π²
由此得到:
1/1²+1/2²+.1/n²=π²/6
证毕.不懂再问我我会说的详细点,祝学习进步!
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