作业帮已知函数f(x)是定义域为R的奇函数.且它的图像关于x=1对称.(1)求f(0)的值.(2)证明：f(x)是周期函数.(3)若f(x)=x(0＜x≤1),求x∈R时函数f(x)的解析式,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:05:59
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数.且它的图像关于x=1对称.
(1)求f(0)的值.(2)证明：f(x)是周期函数.(3)若f(x)=x(0＜x≤1),求x∈R时函数f(x)的解析式,
由于f(x)为奇函数,且定义域为R ,所以有f(x)= - f(-x),所以就有f(0)=-f(-0),
化简：2f(0)=0,从而得：f(0)=0
因为f（x）是定义域为R的奇函数,所以有f(x)= - f(-x).
因为图像关于直线x=1对称,所以f(x)= f(2-x),
所以f(2-x)=- f(-x),
用X代换-X,可以得到f(2+x)=- f(x),
用2+X代换X所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数
因为f(x)=x(0＜x≤1), f(0)=0,
所以当0≤X≤1时,f(x)=x ,而函数 是奇函数,所以f(x)=x,x∈[-1,1],
由f(x)的图像关于直线x=1对称,知x∈[1,3]时,f(x)= f(2-x)=-x+2
且知其周期为4,故得f(x)解析式为：
. f(x)=f(x-4n)=x-4n,x∈[4n-1, 4n+1], n∈Z
f(x) =f(x-4n)=-(x-4n)+2=-x+4n+2. x∈[4n+1,4n+3],n∈Z
（1）：f（0）=0
（2）：因为f(x)=-f-(x),
f(x)=f(2-x)
所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
所以y=f(x)是以T=4的周期函数
（3):？？？
，求x∈R时，函数f（x）的解析式， 1、由于f(x)为奇函数，且定义f(-x)。 因为图像关于直线x=1对称，所以f(x)= f(2-x)，所以f(2-x