方程x的立方-y的立方=xy+61有几组正整数解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 23:31:56

方程x的立方-y的立方=xy+61有几组正整数解

x^3-y^3=xy+61=(x-y)(x^2+xy+y^2)>0,且x,y为正整数
故x-y>0且值为正整数
x^3-y^3=xy+61=(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)^3+3xy(x-y)
移项得:(x-y)^3=61+xy-3xy(x-y)=61-xy【3(x-y)-1】
3(x-y)-1>0
所以:(x-y)^3<61,符合条件的x-y值只有:1,2,3
当x-y=1时,xy=30,故x=6,y=5
当x-y=2时,5xy=53,无正整数解
当x-y=3时,8xy=34,无正整数解
故符合条件的解只有x=6,y=5一组

∵xy都为正整数
∴xy+61>0
∴x立方-y立方>0
∴x立方>y立方,即x>y
设x=y+m ①
∵xy都为正整数且x>y ∴m为正整数
代入可得:(y+m)的立方-y立方=y(y+m)+61
展开并整理 (3m-1)y平方+(3m平方-m)y=61-m立方 ②
容易看出,等号左边的多项式恒大于0,所以61-m立方...

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∵xy都为正整数
∴xy+61>0
∴x立方-y立方>0
∴x立方>y立方,即x>y
设x=y+m ①
∵xy都为正整数且x>y ∴m为正整数
代入可得:(y+m)的立方-y立方=y(y+m)+61
展开并整理 (3m-1)y平方+(3m平方-m)y=61-m立方 ②
容易看出,等号左边的多项式恒大于0,所以61-m立方>0
解得:m<4 又∵m为正整数 ∴m=1或2或3
把m的值代入②,解出y的值,再代入①解出x的值

我没解,大家往下做吧

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