作业帮已知数列{an}满足 a1=1/2 ,a1+a2+...+an=n^2an 求an 注 n^2 是n的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 15:56:44
已知数列{an}满足 a1=1/2 ,a1+a2+...+an=n^2an
求an
注 n^2 是n的平方
a1+a2+...+a(n-1)+an=n^2an
a1+a2+...+a(n-1)=(n-1)^2a(n-1)
两式相减得
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
于是
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)
………………
a3/a2=2/4
a2/a1=1/3
上面几式相乘得
an/a1=2/n/(n+1)
而a1=1/2
于是an=a1*2/n/(n+1)=1/n/(n+1)
由条件可知a(1)=1/2,前n项和S(n)=n^2*a(n).
从而 S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
n>=2时，有
a(n)=S(n)-S(n-1)=n^2*a(n)-(n-1)^2*a(n-1),即
(n^2-1)a(n)=(n-1)^2*a(n-1)，整理即得
a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1),n>=2
...
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由条件可知a(1)=1/2,前n项和S(n)=n^2*a(n).
从而 S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
n>=2时，有
a(n)=S(n)-S(n-1)=n^2*a(n)-(n-1)^2*a(n-1),即
(n^2-1)a(n)=(n-1)^2*a(n-1)，整理即得
a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1),n>=2
于是有：
a(n)/a(n-1)=(n-1)/(n+1),
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n),
...
a(2)/a(1)=1/3,
累乘即得：
a(n)/a(1)=2/(n(n+1)),n>=2
即：a(n)=a(1)*2/(n(n+1))=1/(n(n+1))=1/n-1/n+1,n>=2
显然n=1时，也满足上述通式。
所以有 a(n)=1/n-1/(n+1)为所求。
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