作业帮设函数f(x)的定义域是（0,正无穷）对于任意的实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=11 求f(1/2)的值2 求证f(x)在（0,正无穷）上是增函数3 求方程4sinx=f(x)的根的个数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 02:52:19
设函数f(x)的定义域是（0,正无穷）对于任意的实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1
1 求f(1/2)的值
2 求证f(x)在（0,正无穷）上是增函数
3 求方程4sinx=f(x)的根的个数
f(1*1)=f(1)+f(1) ,所以 f(1)=0,
f(1)=f(1/2*2)=f(1/2)+f(2)=0 所以f(1/2)=f(1)-f(2)=0-1=-1
将m=1,n=1带入恒等式
有f(1)=0
将m=2，n=1/2带入有
f(1)=f(2)+f(1/2)
所以f(1/2)=-1
由此易知f(m)=-f(1/m)，
将m=x2,n=1/(x1)代入上式（x2>x1>0)
f(x2/x1)=f(x2)-f(x1)，
x2/x1>1，∴f(x2/x1)>0
f(x2)-f(x1)...
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将m=1,n=1带入恒等式
有f(1)=0
将m=2，n=1/2带入有
f(1)=f(2)+f(1/2)
所以f(1/2)=-1
由此易知f(m)=-f(1/m)，
将m=x2,n=1/(x1)代入上式（x2>x1>0)
f(x2/x1)=f(x2)-f(x1)，
x2/x1>1，∴f(x2/x1)>0
f(x2)-f(x1)>0
所以是增函数
(3)下面求一下f(x)
将m=x+dx，n=1/x带入
有f(1+dx/x)=f(x+dx)-f(x)，∵f(1)=0，
[f(1+dx/x)-f(1)]/[dx/x]=x*[f(x+dx)-f(x)]/dx
两边取极限 dx→0 有
f'(1)=xf'(x)，
f'(x)=f'(1)/x
求积分得
f(x)=f'(1)lnx，
由f(2)=1得
f(x)=lgx/lg2。
则画图像知道有3个根
收起
1 ,f(2x1)=f(2)+f(1)=1 所以f(1)=0 f(1/2x2)=f(1/2)+f(2)=f(1) 所以f(1/2)= -1
2 ,
由题意的f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,f(1)=f(2)+f(1/2),所以f(1/2)=-1.
好吧，今天我们也做这试卷了，我只会第一题饿，