已知函数的定义域为R,对任意实数m,n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(1/2)=2,又当x>-1/2时,有f(x)>0.解不等式:1+f(√(x^2+1)≤f(1)+f(ax)(其中a为正常数),

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 22:50:21

已知函数的定义域为R,对任意实数m,n均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,
且f(1/2)=2,又当x>-1/2时,有f(x)>0.解不等式:1+f(√(x^2+1)≤f(1)+f(ax)
(其中a为正常数),

∵f(0)=f(0)+f(0)-1
  ∴f(0)=1
  ∵f(0)=f(1/2)+f(-1/2)-1=1+f(-1/2)=1
  ∴f(-1/2)=0
设x1>x2,令x1-x2=t>0
 ∴f(x1)-f(x2)=f(x2+t)-f(x2)
  =f(x2)+f(t)-1-f(x2)=f(t)-1
  =f(t-1/2 +1/2)-1
  =f(t-1/2)+f(1/2)-1
 ∵f(1/2)=2
 ∴f(x1)-f(x2)=f(t-1/2)+2-1=f(t-1/2)+1
 ∵t>0
 ∴t-1/2>0
 ∴f(x1)-f(x2)=f(t-1/2)+1=f(t)+f(-1/2)-1+1=f(t)>0
 ∴f(x)是单调递增函数
 ∵1+f(√(x²+1)≤f(1)+f(ax)
 即:f(√(x²+1)≤f(1)+f(ax)-1
 ∴f(√(x²+1)≤f(1+ax)
  √(x²+1)≤1+ax
 ∴x²+1≤(1+ax)²
 ∴(a²-1)x²+2ax≥0
 ∵a为正常数
①当a²-1=0,即a=1时
  2ax≥0
  ∴x≥0
②当a²-1>0,即a>1时
  ∴(a²-1)x²+2ax≥0
  ∴x[(a²-1)x+2a]≥0
  ∴x≤-2a/(a²-1)或x≥0
③当a²-1<0,即0  ∴(a²-1)x²+2ax≥0
  ∴x[(1-a²)x+2a]≤0
  ∴-2a/(1-a²)≤x≤0

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