在直角坐标系中,直线过点（2,1）且交x轴.y轴正半轴于A.B两点,坐标原点为O,则三角形AOB周长的最大值为多少?此时A.B的坐标分别为什么?好难啊,用基本不等式解好像不行啊!a=b与a∧2=2b∧2两个不

在直角坐标系中,直线过点（2,1）且交x轴.y轴正半轴于A.B两点,坐标原点为O,则三角形AOB周长的最大值为多少?此时A.B的坐标分别为什么?
好难啊,用基本不等式解好像不行啊!a=b与a∧2=2b∧2两个不能同时取!
不好意思是周长的最小值

解析：设直线AB的斜率为k,则直线方程为
y-1=k(x-2),k＜0,
令x=0,y=1-2k,
y=0,x=2-1/k,
不妨设p(2,1),∠BPD=∠PAC=a,做PC⊥x轴于C,PD⊥Y轴于D,
则OA=2+2cota,OB=1+2tana.AB=2/cosa+1/sina
∴周长=OA+OB+AB
=2+cota+1+2tana+2/cosa+1/sina
=3+(cosa+1)/sina+2(sina+1)/cosa
=3+(sin^a+2sina+1+cosa)/sinacosa
太难解了,明天解吧.

图呢?

如下图 M即是点（2，1） 图中BM=MA。我把这个图作出来了，你再用3角形面积公式（初3的那个，带sin的那个），很快就可以判断，这样作的AB是面积最小的。这个结论带有一般性。就是说给的不是直角，已知的那个定点是别的任意的定点结论也这样。我还是简单说下

设：  除了图中已有的AB外，另有某一任意的直线PQ，它们俩不重合

先不防设PM>MQ。则3角形PMB的面积>3角形QMA的面积

所以 3角形POQ的面积>3角形AOB的面积 (如若不清楚自己看图)

PM<MQ,也是这样，增多的那块面积>减少的那块的面积

证明了BM=MA，则面积最小，再连OM,因为同高等底所以

3角形OMB的面积=3角形OMA的面积  

3角形AOB的面积=3角形OMA的面积+3角形OMQ的面积=（1/2）*1*OA +（1/2）*2*OB=2（三角形OMB的面积）=OA=（1/2）OB*OA   所以

OB=2，解方程得 OA=4

三角形AOB的面积=4 现在问题变成求周长最小值，我做了3个日夜，又发到数学群，还是在读硕士借助软件做出来的。最小值是10，相应图形是OA=10/3，OB=5/2，满足3，4，5的比例关系。方法是解析。此题无论你设谁是自变量都行，列出周长的函数，求导，求零点得极值，最后都归结要解6次方程，我们晓幸的猜出了BA斜率=-3/4就是那仅存的唯一零点。 暂未发现有几何方法能解决，能普适推广到任意角任意点的规律。这题也不知道是你抄错还是我们几何的方法功底不够，竟然难度这么高。你在找来的呢？