1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 17:06:30
1^2+2^2+3^2+……+n^2等于多少
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:N^2=N的平方)
证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6
证法一(归纳猜想法):
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
n(n+1)(n+2)(n+3)+1等于多少
若n等于1或-1,求n-2n+3n-4n+…+49n的值
n(n+1)(n+2)等于多少?
化简1/2!+2/3!+3/4!……+n-1/n!n大于等于2n属于N*
Lim(1/n^3 +2^2/n^3 +3^2/n^3+…+n^2/n^3)等于
1+2+3+4+……+(n-1)为什么等于n(n-1)/2
((n^2+3n)^(1/2))-n n ----> ∞ 等于 错了。等于-∞
1+3+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)等于几
lim[1+3+5+…+(2n-1)/[n(2n-1)]等于多少?
-1,4,-7,10…(-1)^n(3n-2)的前n项和等于
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,n-2)+C(n,n-1)+C(n,n)为什么等于什么
(n-3)(n-2)(n-4)等于120 求n
+(n-1)!+(n-2)!+.+(n-n)!等于什么?
(a+b)^n — a^n 怎么等于n*a^(n-1)*b+n*(n-1)/2!*a^(n-2)*b^2+……+b^n
lim[1^n+2^n+3^n]^(1/n)等于多少n→无穷
能否证下n/(n^2+1) > ln((n+1)/n) (n大于或等于3)
用数学归纳法证明:n大于等于2,n 属于N,1/2^2+a/3^2+……+1/n^2小于(n-1)/n
2^n-2^(n-1)等于多少