若a>0,b>0,且a+b=1,求证√2a+1+√2b+1的最大值

若a>0,b>0,且a+b=1,求证√2a+1+√2b+1的最大值

令y=√2a+1+√2b+1
根号大于等于0
所以y>=0
y^2=2a+1+2√(2a+1)(2b+1)+2b+1
=2(a+b)+2+2√(2a+1)(2b+1)
=2*1+2+2√(2a+1)(2b+1)
=4+2√(2a+1)(2b+1)
(2a+1)(2b+1)=4ab+2(a+b)+1=4ab+2*1+1=4ab+3
a>0,b>0,所以a+b>=2√ab
即1>=2√ab
√ab<=1/2
所以00<4ab<=1
0<4ab+3<=4
所以0<(2a+1)(2b+1)<=4
0<√(2a+1)(2b+1)<=2
4<4+2√(2a+1)(2b+1)<=4+2*2=8
即42所以最大值=2√2

由均值不等式:
(a^2+b^2)/2≥((a+b)/2)^2
知 ((2a+1)+(2b+1))/2≥((√(2a+1)+√(2b+1))/2)^2
所以(√(2a+1)+√(2b+1))/2≤√(a+b+1)
由a+b=1,得√(2a+1)+√(2b+1)≤2√2
当且仅当2a+1=2b+1,即a=b时取"=".
又a+b=1,所以a=b=1/2.
此时√(2a+1)+√(2b+1)有最大值2√2.

轮换对称式
即A换B，B换A，√2b+1+√2a+1
与原题一样，
这类题取最值时通常是A=B，
所以，最大值在A=B=1/2时取得，为2√2