已知函数f(x)=x^2+a,(x ∈R).(1)对任意的x1,x2∈R,比较1/2[f(x1)+f(x2)]与f[(x1+x2)/2]的大小(2)若x∈[-1,1]时,有f(x)的绝对值小于等于1,试求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/27 10:49:05
已知函数f(x)=x^2+a,(x ∈R).(1)对任意的x1,x2∈R,比较1/2[f(x1)+f(x2)]与f[(x1+x2)/2]的大小
(2)若x∈[-1,1]时,有f(x)的绝对值小于等于1,试求实数a的取值范围
(1)f(x)=x^2+a
所以1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[(x1)²+a+(x2)²+a]
=[(x1)²+(x2)²]/2+a
f[(x1+x2)/2]=[(x1+x2)/2]²+a
=[(x1)²+2x1x2+(x2)²]/4+a
所以1/2[f(x1)+f(x2)]-f[(x1+x2)/2]
=[(x1)²+(x2)²]/2+a-{[(x1)²+2x1x2+(x2)²]/4+a}
=[(x1)²+(x2)²]/2--[(x1)²+2x1x2+(x2)²]/4
=[2(x1)²+2(x2)²-(x1)²-2x1x2-(x2)²]/4
=[(x1)+(x2)-2x1x2]/4
=(x1-x2)²/4≥0
所以1/2[f(x1)+f(x2)]-f[(x1+x2)/2]≥0
(2)x∈[-1,1] 所以0≤x²≤1
f(x)的绝对值小于等于1
所以-1≤f(x)≤1 即-1≤x²+a≤1
所以-1-x²≤a≤1-x²
所以-2≤a≤1
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